Para pocos días en Madrid lo mejor es algo céntrico. Hay barrios con distintos ambientes. Si te apatece salir por la noche, copas y esas cosas, podrías buscar algo por Chueca (lugar preferido por gays pero con sitios majísimos y bien decorados) o por la calle Huertas. Esta última zona te pilla muy cerquita de los grandes museos de pintura en Madrid (Prado, Reina Sofía, Thyssen), cercana a la puerta del Sol y a la plaza Mayor, con tabernas y bares muy castizos (Esta es la palabra que usan en Madrid para definir lo típico en sentido tradicional, con solera).
Te puedes mover con facilidad ya que el Metro es cómodo y hay líneas para ir a casi cualquier sitio. Un consejo, el calor puede ser asfixiante en verano, así que procura que el apartamento tenga aire acondicionado o, al menos, que sea bastante alto para que puedas dormir por la noche.
Las terrazas de la Castellana son lugares "must see" en verano en Madrid por las noches. Hay mucha gente "guapa" y todos van a ver y ser vistos.
¡Que disfrutes!
Darwin